Милош Бикович родился 13 января 1988 года в Белграде.
Окончил Белградский университет искусств (факультет драматического искусства).
Бикович играет в Белградском Национальном театре.
В 2004 году дебютировал в кино, сыграв роль Небойша Лютича в сериале «Доллары идут».
Первая известность пришла к сербскому актеру в 2014 году после выхода фильма Никиты Михалкова «Солнечный удар».
Широкую популярность и любовь зриетелей Биковичу принесли роли в сериалах «Отель Элеон», «Гранд» и «Крылья Империи», а также в фильмах «Духless 2», «Лёд», «Балканский рубеж», «Холоп» и «Отель Белград».
2011 — награда сербского кинематографа за лучшую главную роль в фильме «Монтевидео» на кинофестивале в городе Ниш
2013 год — хорватская театральная премия «Марул» за лучшую главную роль в спектакле «Мой сын, только ходит немного медленнее» (г. Сплит)
2014 — награда «Золотой значок Сербии за вклад в культуру» от Культурно-просветительного Союза Сербии
2014 — награда за «Культурную реализацию в спектаклях Белградского Драматического театра в 2014 году» от Культурно-просветительного Союза Сербии
2018 — Медаль Пушкина (Россия, 24 октября 2018 года) — за заслуги в укреплении дружбы и сотрудничества между народами, плодотворную деятельность по сближению и взаимообогащению культур наций и народностей
В 2016 году Милош Бикович встречался с российской моделью Сашей Лусс, но пара рассталась.
С 2016 года Милош встречался с Аглаей Тарасовой — актрисой, исполняющей роль в фильме «Лёд», где она снималась в паре с Милошем, но в начале 2018 пара рассталась.
С конца 2018 года Милош Бикович начал встречаться с сербской моделью Барбарой Таталович. В марте 2020 года пара рассталась.