Александр Беляев родился 5 января 1949 года в Москве. Его отец — Вадим Михайлович Беляев, был одним из руководителей Брянского автозавода.
После школы будущий телеведущий поступил на географический факультет МГУ, который окончил в 1972 году по специальности «Гидрология суши».
Окончив вуз, Беляев начал работать по распределению в проектно-изыскательском институте «Союзводоканалпроект».
В начале 1970-х годов Александр перешел в Институт географии Российской академии наук, где основал группу «Меркатор», занимающуюся созданием метеорологической инфографики для холдинга «Метео-ТВ».
В 1975 году снялся в кино, сыграв прохожего в оранжевой куртке в кинохите «Ирония судьбы, или С лёгким паром!». Также сыграл предсказателя погоды в фильме «Азирис Нуна» (2006) и врача-психоаналитика в сериале «Счастливы вместе» (2006-2012).
В 1979 году Беляев защитил кандидатскую диссертацию по теме «Зональные комплексные зависимости и их использование при водно-балансовом картографировании».
В 1987 году Александр был назначен заместителем директора Института географии РАН по научным вопросам и принял на себя руководство лабораторией экспериментальных исследований геосистем.
В 2007—2008 годах вел детскую интеллектуальную телеигру «Сразись с нацией» на телеканалах «Россия» и «Бибигон».
С 23 марта 1998 года Александр Беляев работает ведущим прогноза погоды на НТВ.
В мае 2020 года, в разгар пандемии коронавируса, Беляев, уже несколько лет борющийся с раком легких, перенес срочную операцию.
20 июля 2020 года Александр Беляев скончался в реанимации. Ему был 71 год.
Супруга — Нина Беляева (1949—2017), художник, окончила архитектурный факультет МГУ.
Сын — Илья (род. 1974), географ по образованию
Золотая медаль имени Льва Николаева — за существенный вклад в просвещение, популяризацию достижений науки и культуры (2013)