Юра Борисов родился 8 декабря 1992 года в Реутове.
В школьные годы будущий актер занимался в театральной студии.
В возрасте 16 лет поступил в Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина (курс Владимира Бейлиса и Виталия Иванова), завершив обучение в 2013 году. Еще будучи студентом четвертого курса, удостоился премии «Золотой лист» в номинации «Лучшая мужская роль» за исполнение роли Александра Тарасовича Аметистова в постановке «Зойкина квартира».
Дебютировал в кино в 2010 году, будучи студентом, ролью Алексея Козлова в молодости в ленте «Поединки: Испытание смертью».
Исполнил ведущие роли в сериалах «У каждого своя война» (2011), «В зоне риска» (2012) и «Мотыльки» (2013).
После окончания училища, с 2013 по 2014 год, работал в московском театре «Сатирикон».
В 2015 году снялся в телесериале «Молодая гвардия», сыграв Сергея Тюленина, а также исполнил главную роль в фильме «Дорога на Берлин».
В 2017 году получил ведущую роль Степана Морозова в сериале «Отчий берег». Затем последовали главные роли в картинах «Семь пар нечистых» (2018) и сериале «Ольга» (с третьего сезона), где воплотил образ Льва.
В 2019 году исполнил ключевую роль в фильме «Бык», за которую был номинирован на премию «Золотой орел» в категории «Лучшая мужская роль в кино» и получил награду «Событие года» от журнала «Кинорепортер» как открытие года. Также отметился второстепенными ролями в фильмах «Т-34», «Союз спасения» и «Вторжение».
Февраль 2020 года ознаменовался выходом фильма «Калашников», где Борисов блестяще сыграл Михаила Калашникова, получив высокую оценку критиков. Эта работа принесла актеру премию «Золотой орел» в 2021 году.
Летом 2020 года Борисов появился во всех главных ролях в музыкальном клипе Федука «Останься».
В сентябре 2021 года артист предстал перед публикой в образе писателя Виктора Пелевина, проведя фиктивную автограф-сессию в Москве. Фотография, сделанная издателем Esquire Сергеем Минаевым, распространилась в социальных сетях и СМИ, породив кратковременную иллюзию появления настоящего Пелевина. Образ Бориса-Пелевина украсил обложку октябрьского номера Esquire.
В 2021 году Борисов участвовал в создании фильма «Купе номер шесть», снятого Юхо Куосманеном. Картина была представлена на Каннском фестивале и получила Гран-при.
В том же году актер сыграл главную роль в картине «Капитан Волконогов бежал», за что получил премию «Белый слон» и номинацию на «Золотого Орла».
В 2023 году Борисов исполнил центральную роль в триллере «Кентавр». В 2024 году вышел фильм «Сто лет тому вперед», основанный на произведении Кира Булычева, где актер воплотил образ космического пирата Глота.
Супруга — Анна Шевчук (род. 12 января 1991), актриса. Поженились в 2014 году
Дочери — Марфа (2015) и Акулина (2017)
Номинации на премии «Оскар» и «Золотой глобус» (2025)