Леонид Куравлев родился 8 октября 1936 года в Москве. Отец — Вячеслав Яковлевич Куравлев (1909—1979), был слесарем авиазавода «Салют». Мать — Валентина Дмитриевна Куравлева (урожд. Кораблева) (1916—1993), работала на кожевенном заводе, позднее в парикмахерской дамским мастером.
Мать будущего актера в начале войны была задержана, получила обвинительный приговор по 58-й статье на срок в 5 лет исправительных работ и была направлена в Караганду, где провела следующие пять лет, работая на металлургическом комбинате. Воспитанием мальчика занималась ее сестра Надежда.
В школе будущему актеру плохо давались точные науки, поэтому, по совету сестры, Леонид решил поступать в ВУЗ, в котором эти предметы были не нужны.
После первой неудачной попытки поступить во ВГИК Куравлев работал на фабрике в цехе, который производил линзы для приборов.
Со второй попытки поступил во ВГИК (мастерская Б.В. Бибикова), который окончил в 1960 году.
С 1960 по 1992 год был артистом Театра-студии киноактера. Но артистическую славу и всенародную любовь ему принесло кино.
Во время учебы в институте Леонид Куравлев впервые снялся в кино в короткометражном фильме «Сегодня увольнения не будет» (это была курсовая работа Андрея Тарковского и Александра Гордона).
В 1960 году актер сыграл первую роль в полнометражном фильме «Мичман Панин» и параллельно снялся в дипломной работе Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают».
Встреча с Шукшиным стала во многом судьбоносной в творческой карьере Куравлева. Сначала они вместе снялись в картине «Когда деревья были большими». А затем Шукшин снял Куравлева сразу в двух своих фильмах — «Живет такой парень» и «Ваш сын и брат». Роли в этих фильмах принесли актеру первую известность.
Особенно полюбился зрителям Пашка Колокольников из картины «Живет такой парень». После этой роли уместно говорить о рождении особенного актерского почерка Куравлева. Почти всем его героям, даже отрицательным, свойственна особая жизненная достоверность, искренность и невероятное обаяние.
Среди работ конца 1960-х годов зрителям полюбились Хома Брут («Вий») и Шура Балаганов («Золотой теленок»).
В 1970-е и 1980-е годы актер был чрезвычайно востребован, снимаясь в нескольких фильмах ежегодно: «Начало», «Жизнь и удивительные приключения Робинзона Крузо», «Иван Васильевич меняет профессию», «Семнадцать мгновений весны», «Кыш и Двапортфеля» «Лев Гурыч Синичкин», «Не может быть!», «Ты — мне, я — тебе», «Шла собака по роялю», «Место встречи изменить нельзя», «Ищите женщину», «ТАСС уполномочен заявить», «Самая обаятельная и привлекательная», и, конечно же, незабываемый «Афоня».
В 1990-е годы, не самые удачные для российского кинематографа, вынужден был сниматься в фильмах более низкого качества, преимущественно комедиях. Особняком стоит блистательная работа в картине «Барышня-крестьянка», а также эпизодические роли в «Мастере и Маргарите» и «Сибирском цирюльнике».
В 2000-е годы произошла своеобразная смена амплуа — режиссеры приглашают его, главным образом, на роли различных военных и милицейских начальников: «Бригада», «Сыщики», «Европейский конвой», «Улицы разбитых фонарей» и другие.
Всего им сыграно более 200 киноролей, многие из которых до сих пор любимы зрителями.
С лета 2021 года Куравалев жил в доме-пансионате для пожилых людей в Москве.
5 января 2022 года актер был госпитализирован в больницу в Коммунарке с диагнозом вирусная пневмония. Затем его перевели в Первый московский хоспис имени В. В. Миллионщиковой.
30 января 2022 года Леонид Куравлев ушел из жизни возрасте 86 лет. Отпевание состоялось в Центральной клинической больнице. Похоронен на Троекуровском кладбище Москвы рядом с супругой Ниной Васильевной.