Леонид Бичевин родился 27 декабря 1984 года в Климовске.
Отучившись 9 классов, будущий артист пошёл в сельскохозяйственное училище Коломны.
Через два года бросил училище и, решив стать актёром, поступил в Театральное училище имени Щукина на курс Юрия Шлыкова.
В 2006 году, окончив «Щуку», был принят в труппу Театра имени Вахтангова, где сыграл роль Троила в спектакле Римаса Туминаса «Троил и Крессида» по трагедии Уильяма Шекспира.
В этом же году дебютировал в кино, сыграв роль Владика в сериале «Важнее, чем любовь».
Первая популярность пришла к актеру в 2007 году благодаря роли Валеры в скандальной картине Алексея Балабанова «Груз 200».
Спустя год Бичевин сыграл уже главную роль в следующем фильме Балабанова «Морфий».
29 июля 2011 года женился на актрисе Марии Бердинских. В сентябре 2014 года у них родился сын, Иван Леонидович Бичевин.
В 2017 году Леонид сыграл Ивана Телегина в популярном телесериале «Хождение по мукам».
В 2019 году актер исполнил сразу две яркие роли: Никиту Лисина в телесериале «Содержанки» и Сергея Муравьёва-Апостола в историческом фильме «Союз спасения»
Супруга — Мария Игоревна Бердинских (в браке с 29 июля 2011 года)
Сын — Иван (родился сентябре 2014 года)