Алексей Янин родился 14 марта 1983 года в Москве.
После школы будущий актер поступил в Театральное училище им. Щепкина (курс В.И. Коршунова)
В 2002 году, будучи студентом «Щепки», Алексей дебютировал в кино, сыграв в короткометражке «Ждать». Затем последовала роль Вадика в сериале «Бальзаковский возраст, или Все мужики сво...».
В 2004 году, окончив вуз, Янин был принят в труппу Российского академического молодежного театра.
На сцене РАМТ артист сыграл в спектаклях «Лоренцаччо» (Джомо), «Инь и Ян. Белая версия» (Ян), «Инь и Ян. Черная версия» (Ян), «Повелитель мух» (Ральф, Морис), «Золушка» (Принц), «Тень» (Христиан-Теодор), «Берег утопии. 3 часть. Выброшенные на берег» (Саша Герцен, сын Александра Герцена) и «Берег утопии. 2 часть. Кораблекрушение» (Рокко, итальянский слуга).
Популярными киноработами актера стали роли в сериалах «Клуб» (2007—2008), «Опережая выстрел» (2011), «Фурцева. Легенда о Екатерине (2011) и «Сильнее судьбы» (2014).
В середине 2014 года Алексей Янин перенес тяжелейший инсульт. Сражаясь за жизнь Янина, врачи были вынуждены ввести его в состояние искусственной комы и провести трепанацию черепа. Предполагается, что инсульт был следствием перегрузок на работе и частых авиаперелетов.
В декабре 2016-го Алексей Янин вышел из комы, в которой провел целых полгода.
В 2020 году, по прошествии пяти лет после инсульта, Янин заново освоил важные навыки, а недавно начал вставать на ноги. Для семьи Янина это событие стало прорывом в реабилитации. Однако, по словам мамы актера, несмотря на прогресс, Алексей уже скорее всего не вернется к полноценной жизни и останется инвалидом первой группы.
19 сентября 2023 года Алексей Янин ушел из жизни в возрасте 40 лет.
Супруга — Дарья Янина (дев. Клюшникова), певица (в браке с 2012 года, живут раздельно)
Сын — Андрей (род. в 2012 году)