Алексей Рубцов родился 5 августа 1988 года в Москве.
В детстве будущий чемпион занимался ушу, а скалолазанием увлекся в сентябре 2005 года в Московском Авиационном Институте (МАИ).
В 2006 году Рубцов дебютировал на Всероссийских соревнованиях по скалолазанию, а в следующем году уже выступил на чемпионате России.
В 2008-м Алексей выступил на двух этапах Кубка мира в дисциплине боулдеринг.
Первым крупным международным успехом российского скалолаза стала победа на чемпионате мира 2009 года.
В 2012 году Алексей окончил факультет «Системы управления, информатики и электроэнергетики» Московского Авиационного Института (МАИ).
Алексей Рубцов — трехкратный победитель этапов кубка мира, 14-кратный призер ЭКМ, двукратный бронзовый призер общего зачета Кубка мира 2016 и 2017 в боулдеринге.
В 2017 году Рубцов завоевал бронзовую медаль в дисциплине боулдеринг на Всемирных играх в польском Вроцлаве.
В октябре 2020 года Рубцов стал двукратным чемпионом России по скалолазанию, завоевав золотые медали в боулдеринге и многоборье.
В ноябре того же года Алексей стал победителем чемпионата Европы в многоборье, благодаря чему получил путевку на XXXII летние Олимпийские игры 2020 года в Токио.
В апреле 2021 года в честь 98-летия ЦСКА скалолаз Алексей Рубцов и дзюдоистка Мадина Таймазова получили премию «Армеец года» в номинации «Лучшие действующие спортсмен и спортсменка по олимпийским видам спорта».
Супруга — Вероника, тренер детской секции по скалолазанию
Мастер спорта международного класса России (МСМК)
Чемпион мира 2009 — боулдеринг
Бронзовый призер общего зачета кубка мира 2016 и 2017 — боулдеринг
Бронза — Всемирные игры 2017, Вроцлав — боулдеринг
Четырехкратный чемпион России 2015, 2018, 2020 — боулдеринг и многоборье
Чемпион Европы 2020 — многоборье
Премия «Армеец года» ЦСКА 2021 — Лучший действующий спортсмен по олимпийским видам спорта